Endomorphisme adjoint \(u^*\) de \(u\)
Endomorphisme qui revient à faire passer \(u\) de l'autre côté dans un
Produit scalaire. $$\forall x,y\in E,\quad \langle{u(x),y}\rangle =\langle{x,u^*(y)}\rangle $$
- on a l'existence et l'unicité d'un tel endomorphisme dans un Espace euclidien, ou dans un Espace de Hilbert si \(u\) est continu
- \((u^*)^*\) \(=u\)
- \((uv)^*\) \(=v^*u^*\)
- la matrice de \(u^*\) est \(A^*=\overline{(A^T)}\), avec \(A\) la matrice de \(u\)
- le noyau de \(u^*\) est l'Orthogonal de l'Image (algèbre linéaire)|Image de \(u\) : \(\ker(u^*)=\operatorname{Im}(u)^\perp\)
- les espaces stables de \(u^*\) sont les orthogonaux des espaces stables de \(u\) : \(F\) stable par \(u\) \(\implies\) \(F^\perp\) stable par \(u^*\)
- la norme de \(u^*\) est égale à la norme de \(u\) : \(\lVert u^*\rVert=\lVert u\rVert\)
